Exponentielles et logarithmes

Tout d'abord, on peut transformer les racines en puissances en utilisant que \(\sqrt[p]{a} = a^{1/p}\) :$$4\log\left(\dfrac{x^{\frac{1}{2}}}{y^{6}}\right)-5\log\left(\dfrac{x^{5}}{y^{\frac{5}{3}}}\right)-4\log\left(\dfrac{x^{4}}{y^{\frac{3}{4}}}\right)$$Ensuite, on peut réécrire les arguments des logarithmes avec uniquement des multiplications de monômes en utilisant que \(\frac{1}{a^p}=a^{-p}\) :$$4\log\left(x^{\frac{1}{2}}y^{-6}\right)-5\log\left(x^{5}y^{-\frac{5}{3}}\right)-4\log\left(x^{4}y^{-\frac{3}{4}}\right)$$Dès lors, on peut intégrer les coefficients des logarithmes dans les arguments en utilisant que \(p\log(a)=\log(a^p)\) :$$\log\left(\left(x^{\frac{1}{2}}y^{-6}\right)^{4}\right)-\log\left(\left(x^{5}y^{-\frac{5}{3}}\right)^{5}\right)-\log\left(\left(x^{4}y^{-\frac{3}{4}}\right)^{4}\right)$$En simplifiant les puissances via la relation \((a^p)^q=a^{pq}\), on obtient :$$\log\left(x^{2}y^{-24}\right)-\log\left(x^{25}y^{-\frac{25}{3}}\right)-\log\left(x^{16}y^{-3}\right)$$On peut ensuite regrouper les deux premiers logarithmes en utilisant la propriété \(\log(a)-\log(b)=\log\left(\frac{a}{b}\right)\) :$$\log\left(\dfrac{x^{2}y^{-24}}{x^{25}y^{-\frac{25}{3}}}\right)-\log\left(x^{16}y^{-3}\right)$$En utilisant la propriété \(\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}\), on obtient :$$\log\left(x^{-23}y^{-\frac{47}{3}}\right)-\log\left(x^{16}y^{-3}\right)$$On peut faire de même avec les deux logarithmes restant en utilisant la propriété \(\log(a)-\log(b)=\log\left(\frac{a}{b}\right)\) :$$\log\left(\dfrac{x^{-23}y^{-\frac{47}{3}}}{x^{16}y^{-3}}\right)$$En utilisant la propriété \(\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}\), on obtient :$$\log\left(x^{-39}y^{-\frac{38}{3}}\right)$$Pour terminer, on peut réécrire l'argument du logarithme avec uniquement des puisances positives en utilisant \(a^{-p}=\frac{1}{a^p}\) :$$\log\left(\dfrac{1}{x^{39}y^{\frac{38}{3}}}\right)$$Finalement, on peut réécrire l'argument du logarithme avec uniquement des puisances et racines entières en utilisant \(\sqrt[p]{a} = a^{1/p}\) :$$\log\left(\dfrac{1}{x^{39}\sqrt[3]{y^{38}}}\right)$$La réponse finale est donc :$$\log\left(\dfrac{1}{x^{39}\sqrt[3]{y^{38}}}\right)$$

Nouvel exemple