Calculer l'aire sous une courbe ou entre deux courbes (pour l'instant seul des exemples avec des fonctions polynomiales sont proposés, mais bien entendu l'objectif doit être maîtrisé quel que soit la fonction). Calculer l'aire enfermée entre la droite verticale \(x=-3\), la droite verticale \(x=3\), l'axe des \(x\) et le graphe de \(f\), avec :$$ f(x) = 2x^3+10x^2+5x$$
Tout d'abord, il faut déterminer si la fonction intersecte l'axe \(x\) entre \(-3\) et \(3\). En effet, l'intégrale entre deux bornes d'une fonction donne l'aire signée (c'est-à-dire comptée négativement si l'aire se trouve sous l'axe des \(x\)) entre le graphe de \(f\) et l'axe des \(x\), alors que nous désirons l'aire géométrique (comptée positivement qu'elle soit au-dessus ou au-dessous de l'axe des \(x\)). Pour déterminer les intersections avec l'axe des \(x\), il faut résoudre l'équation :
$$ 2x^3+10x^2+5x = 0$$
Il s'agit d'une équation du troisième degré . Néanmoins, on peut aisément mettre \(x^{}\) en évidence :
$$ 0 = x^{} \cdot\left(2x^{2}+10x^{}+5\right)$$
Comme le produit de \(x^{}\) et de \(\left(2x^{2}+10x^{}+5\right)\) est nul, cela implique deux possibilités :
Première possibilité : \(x^{}=0\), ainsi une première solution est \(x=0 \).
Seconde possibilité : \(\left(2x^{2}+10x^{}+5\right)=0\). Il s'agit d'une équation du deuxième degré qui peut être résolue par exemple en utilisant la formule de Viète. Les coefficients de cette équation sont :
$$ a = 2 \quad ; \quad b = 10 \quad ; \quad c = 5$$
Nous pouvons calculer le discriminant \(\Delta\) :
$$ \Delta = b^2-4ac = 10^2 - 4\cdot 2\cdot 5 = 60 $$Dans la mesure où \(\Delta>0\), cette équation admet deux solutions :
$$\begin{align}
x_1 & = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-10-\sqrt{60}}{2\cdot 2} \cong -4.44\\
x_2 & = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-10+\sqrt{60}}{2\cdot 2} \cong -0.56\end{align}$$
En résumé, l'équation initiale du troisième degré admet trois solutions qui sont : \(x_1=0\), \(x_{2} \cong -4.44\), \(x_{3} \cong -0.56\). Comme il y a 2 zéros entre \(-3\) et \(3\), la fonction traversera l'axe des \(x\), ainsi l'aire signée changera de signe. Il faudra donc intégrer la fonction séparément sur chaque morceau où son signe est constant.L'aire sera donc donnée par :
$$ A = \left|\int_{-3}^{-0.56} \left(2x^3+10x^2+5x\right)\text{ d}x\right| + \left|\int_{-0.56}^{0} \left(2x^3+10x^2+5x\right)\text{ d}x\right| + \left|\int_{0}^{3} \left(2x^3+10x^2+5x\right)\text{ d}x\right| $$
Il faut désormais trouver la primitive de \(2x^3+10x^2+5x\). Celle-ci est donnée par :
$$ \int \left(2x^3+10x^2+5x\right)\text{ d}x = \dfrac{1}{2}x^4+\dfrac{10}{3}x^3+\dfrac{5}{2}x^2 + c, \forall c\in\mathbb{R}$$
(Comme vu à l'objectif précédent, la constante \(c\) n'aura aucune influence dans le calcul des intégrales avec bornes, car elle s'annule dans la soustraction).
On obtient ainsi :$$\begin{array}{ll}\displaystyle
\left|\int_{-3}^{-0.56} \left(2x^3+10x^2+5x\right)\text{ d}x\right| & = \left|\left.\dfrac{1}{2}x^4+\dfrac{10}{3}x^3+\dfrac{5}{2}x^2\right|_{-3}^{-0.56}\right|\\
& \cong \left|\left(\dfrac{1}{2}(-0.56)^4+\dfrac{10}{3}(-0.56)^3+\dfrac{5}{2}(-0.56)^2\right)-\left(\dfrac{1}{2}(-3)^4+\dfrac{10}{3}(-3)^3+\dfrac{5}{2}(-3)^2\right)\right|\\
& \cong \left|0.25-(-27)\right| \cong \left|27.25\right| = 27.25
\end{array}
$$$$\begin{array}{ll}\displaystyle
\left|\int_{-0.56}^{0} \left(2x^3+10x^2+5x\right)\text{ d}x\right| & = \left|\left.\dfrac{1}{2}x^4+\dfrac{10}{3}x^3+\dfrac{5}{2}x^2\right|_{-0.56}^{0}\right|\\
& \cong \left|\left(\dfrac{1}{2}(0)^4+\dfrac{10}{3}(0)^3+\dfrac{5}{2}(0)^2\right)-\left(\dfrac{1}{2}(-0.56)^4+\dfrac{10}{3}(-0.56)^3+\dfrac{5}{2}(-0.56)^2\right)\right|\\
& \cong \left|0-0.25\right| \cong \left|-0.25\right| = 0.25
\end{array}
$$$$\begin{array}{ll}\displaystyle
\left|\int_{0}^{3} \left(2x^3+10x^2+5x\right)\text{ d}x\right| & = \left|\left.\dfrac{1}{2}x^4+\dfrac{10}{3}x^3+\dfrac{5}{2}x^2\right|_{0}^{3}\right|\\
& = \left|\left(\dfrac{1}{2}(3)^4+\dfrac{10}{3}(3)^3+\dfrac{5}{2}(3)^2\right)-\left(\dfrac{1}{2}(0)^4+\dfrac{10}{3}(0)^3+\dfrac{5}{2}(0)^2\right)\right|\\
& = \left|153-0\right| = \left|153\right| = 153
\end{array}
$$Ainsi l'aire cherchée vaut : $$ A \cong 27.25+0.25+153 \cong 180.5 $$