Intégrales

On peut tout d'abord réécrire notre expresison à l'aide d'une puissance négative pour ne plus avoir de fraction (car il sera facile de trouver la primitive d'une fonction du type \((9x-7)^n\), même si \(n\) n'est pas un nombre naturel) : $$ \int \dfrac{20}{(9x-7)^{3}} \text{ d}x = \int 20(9x-7)^{-3} \text{ d}x $$On doit trouver une fonction dont la dérivée est \(20(9x-7)^{-3}\). On sait qu'une fonction dont la dérivée est une polynôme de degré \(-3\) est un polynôme de degré \(-2\). Prenons simplement comme ansatz \((9x-7)^{-2}\). Sa dérivée est : $$ \left((9x-7)^{-2}\right)' = -2(9x-7)^{-3} \cdot (9x-7)' = -2(9x-7)^{-3} \cdot 9 = -18(9x-7)^{-3} $$On remarque qu'au lieu d'obtenir \(20(9x-7)^{-3}\) on obtient \(-18 (9x-7)^{-3}\). Par ailleurs, \(-18 (9x-7)^{-3}\) est \(-18\) fois plus grand que \((9x-7)^{-3}\) qui est \(20\) fois plus petit que \(20(9x-7)^{-3}\). Il suffit donc de divisier notre ansatz par \(-18\) et de le multiplier par \(20\). Autrement dit, de le multiplier par \(\dfrac{20}{-18}=-\dfrac{10}{9}\) :$$ \int 20(9x-7)^{-3} \text{ d}x = -\dfrac{10}{9}(9x-7)^{-2}+c,\forall c\in\mathbb{R}$$ Vérification : $$ \left(-\dfrac{10}{9}(9x-7)^{-2}+c\right)' = -\dfrac{10}{9}\cdot\left(-2 (9x-7)^{-3}\right)\cdot 9 = 20(9x-7)^{-3} $$Dans la mesure où \((9x-7)^{-2} = \dfrac{1}{(9x-7)^{2}}\), on peut finalement réécrire notre expression sans plus de puissance négative. Ainsi la réponse finale est donc :$$ \int \dfrac{20}{(9x-7)^{3}} \text{ d}x = \dfrac{-10}{9(9x-7)^{2}}+c,\forall c\in\mathbb{R} $$

Nouvel exemple