Intégrales

Tout d'abord, il faut déterminer la primitive de la fonction de trouvant dans l'intégrale. Ceci est fait en détails entre les deux lignes horizontales ci-dessous pour celles et ceux qui désirent les détails (néanmoins si la détermination de primitives est encore fragile, je vous encourage à revenir aux deux précédents objectifs). La suite se trouve après la seconde ligne horizontale.

On peut tout d'abord réécrire notre expresison à l'aide d'une puissance fractionnaire pour ne plus avoir de racine (car on il sera facile de trouver la primitive d'une fonction du type \((-2x+2)^n\), même si \(n\) n'est pas un nombre naturel) :$$ \int \sqrt[8]{-2x+2} \text{ d}x = \int (-2x+2)^{\tfrac{1}{8}} \text{ d}x $$On doit trouver une fonction dont la dérivée est \((-2x+2)^{\tfrac{1}{8}}\).On sait qu'une fonction dont la dérivée est une polynôme de degré \(\dfrac{1}{8}\) est un polynôme de degré \(\dfrac{1}{8}+1 = \dfrac{9}{8}\). Prenons simplement comme ansatz \((-2x+2)^{\tfrac{9}{8}}\). Sa dérivée est : $$ \left((-2x+2)^{\tfrac{9}{8}}\right)' = \dfrac{9}{8}(-2x+2)^{\tfrac{1}{8}}\cdot (-2x+2)' = \dfrac{9}{8}(-2x+2)^{\tfrac{1}{8}}\cdot (-2) = -\dfrac{9}{4}(-2x+2)^{\tfrac{1}{8}}$$On remarque qu'au lieu d'obtenir \((-2x+2)^{\tfrac{1}{8}}\) on obtient \(-\dfrac{9}{4}(-2x+2)^{\tfrac{1}{8}}\). Par ailleurs, \(-\dfrac{9}{4}(-2x+2)^{\tfrac{1}{8}}\) est \(-\dfrac{9}{4}\) fois plus grand que \((-2x+2)^{\tfrac{1}{8}}\) qui est \(1\) fois plus petit que \((-2x+2)^{\tfrac{1}{8}}\). Il suffit donc de divisier notre ansatz par \(-\dfrac{9}{4}\) et de le multiplier par \(1\). Autrement dit, de le multiplier par : $$1 : \left(-\dfrac{9}{4}\right) = 1 \cdot \left(-\dfrac{4}{9}\right) = -\dfrac{4}{9} $$ Ainsi : $$ \int (-2x+2)^{\tfrac{1}{8}} \text{ d}x = -\dfrac{4}{9}(-2x+2)^{\tfrac{9}{8}}+c,\forall c\in\mathbb{R}$$ Vérification : $$ \left(-\dfrac{4}{9}(-2x+2)^{\tfrac{9}{8}}+c\right)' = -\dfrac{4}{9}\cdot\left(\dfrac{9}{8} (-2x+2)^{\tfrac{1}{8}}\right)\cdot(-2) = (-2x+2)^{\tfrac{1}{8}} $$ Pour terminer, on peut réécrire \((-2x+2)^{\tfrac{9}{8}}\) ainsi :$$ (-2x+2)^{\tfrac{9}{8}} = \left((-2x+2)^{9}\right)^{\tfrac{1}{8}} = \sqrt[8]{(-2x+2)^{9}}$$

Par le théorème fondamental de l'analyse : $$ \begin{array}{ll} \displaystyle\int_{-12}^{-6} \sqrt[8]{-2x+2} \text{ d}x &= \left.-\dfrac{4}{9}\sqrt[8]{(-2x+2)^{9}}+c\right|_{-12}^{-6} \\ &= \left(-\dfrac{4}{9}\sqrt[8]{(-2(-6)+2)^{9}}+c\right) - \left(-\dfrac{4}{9}\sqrt[8]{(-2(-12)+2)^{9}}+c\right) \\ & \cong -8.65-(-17.4)\\ & \cong 8.71 \end{array}$$ (arrondi à trois chiffres significatifs au moins et à l'entier le plus proche au moins)

Nouvel exemple