Limites

On constate que lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), le numérateur et le dénominateur deviennent arbitrairement grands en magnitude (soit positivement, soit négativement). Cependant, on ne sait pas lequel des deux grandit le plus rapidement. Cette forme est donc pour le moment indéterminée. Pour pouvoir déterminer la valeur de la limite, on peut faire en sorte de ne plus avoir un terme arbitrairement grand au dénominateur, mais un terme qui tend vers une constante. A cet effet, on peut diviser le numérateur et le dénominateur par \(x^{2}\) : $$\lim_{x\to +\infty}\left(\dfrac{-4x^{3}+6x^{2}-4x^{}+2}{-10x^{2}-6x^{}+1}\right) = \lim_{x\to +\infty}\left(\dfrac{-4x^{}+6-\dfrac{4}{x^{}}+\dfrac{2}{x^{2}}}{-10-\dfrac{6}{x^{}}+\dfrac{1}{x^{2}}}\right)$$ Dès lors, tous les termes du type \(\dfrac{\text{const}}{x^n}\) avec \(n>0\) vont tendre vers zéro lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\). Les termes non nuls restant dans la limite sont donc : $$\lim_{x\to +\infty}\left(\dfrac{-4x^{}+6-\dfrac{4}{x^{}}+\dfrac{2}{x^{2}}}{-10-\dfrac{6}{x^{}}+\dfrac{1}{x^{2}}}\right) = \lim_{x\to +\infty}\left(\dfrac{-4x^{}+6}{-10}\right)$$ Dès lors :

• Le numérateur tend vers un nombre arbitrairement grand en magnitude. Par ailleurs, comme \(x\to +\infty\), le terme \(-4x^{}\) est positif.
• Le dénominateur tend vers \(-10\) qui est négatif

Cela signifie que lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), notre expression tend vers un nombre abitrairement grand en magnitude et négatif divisé par \(-10\) qui est négatif. La limite tend donc vers un nombre arbitrairement grand en magnitude et positif. Ainsi au final :$$\lim_{x\to +\infty}\left(\dfrac{-4x^{3}+6x^{2}-4x^{}+2}{-10x^{2}-6x^{}+1}\right) = +\infty$$

Nouvel exemple