Résoudre un problème d'intérêts simples ou composés combinant les notions de bases des objectifs 1 et 2 (comparaison de différentes offres, taux fixe modifié après un certain nombre d'années, conversion de taux, etc.).
Une banque propose un taux annuel fixe de \(0.7\%\) pendant \(2\text{ ans}\) puis de \(0.15\%\) les années suivantes. On place un capital de \(\text{CHF }20000\) sur un tel compte. Combien d'années faut-il attendre pour que le capital sur le compte soit de \(\text{CHF }20298\) ?
Le problème peut se décomposer en deux parties. Tout d'abord, un taux annuel \(i_1 = 0.7\% = 0.007\) est appliqué pendant une durée \(n_1=2\text{ ans}\) (bien entendu : seulement si le temps total cherché est supérieur à cette durée), puis un taux annuel \(i_2 = 0.15\% = 0.0015\) est appliqué pendant une durée \(n_2\) inconnue. La première chose à faire est de vérifier si effectivement la durée chercher est supérieure à \(n_1=2\text{ ans}\). Pour ce faire, commençons par calculer le capital après \(n_1=2\text{ ans}\) pour le comparer au capital final \(C_n = \text{CHF }20298\).
Nous avons un capital initial \(C_0 = \text{CHF }20000\), un taux annuel \(i_{1} = 0.7\% = 0.007\), une durée \(n_1=2\text{ ans}\) et on cherche le capital final \(C_{n_1}\). Dans la mesure où il s'agit d'intérêts composés, la relation entre ces grandeurs est : $$ C_{n_1} = C_0 (1+i)^{n_1} $$ Il suffit de remplacer les valeurs dans cette équation pour obtenir le résultat recherchée : $$ C_{n_1} = 20000(1+0.007)^{2} \cong \text{CHF }20280.98$$ Le capital après \(2\text{ ans}\) (arrondi à deux chiffres après la virgule si besoin) est donc de \(\text{CHF }20280.98\).
Ce capital étant inférieur au capital final (\(\text{CHF }20298\)), cela signifie que la durée est supérieure à \(2\text{ ans}\). On peut donc définir \(n\) comme étant la durée supplémentaire au second taux, avec dès lors un capital \(C_0 = \text{CHF }20280.98\) et déterminer cette durée.
Nous avons un capital initial \(C_0 = \text{CHF }20280.98\), un capital final \(C_n = \text{CHF }20298\), un taux annuel \(i = 0.15\% = 0.0015\) et on cherche la durée \(n\) en ans. Dans la mesure où il s'agit d'intérêts composés, la relation entre ces grandeurs est : $$ C_n = C_0 (1+i)^n $$ Pour obtenir \(n\), il faut l'isoler dans l'équation. En remplaçant les valeurs : $$\begin{array}{rcl|l} 20298 & = & 20280.98 (1+0.0015)^n & :20280.98\\ \frac{20298}{20280.98} & = & 1.0015^n & \log(...)\\ \log\left(\frac{20298}{20280.98}\right) & = & \log\left(1.0015^n\right) & \text{Propriété du log.}\\ \log\left(\frac{20298}{20280.98}\right) & = & n\cdot\log(1.0015) & :\log(1.0015)\\ \dfrac{\log\left(\frac{20298}{20280.98}\right)}{\log(1.0015)} & = & n & \end{array} $$ On obtient ainsi le résultat recherché (arrondi ici à deux décimales si nécessaire) : $$ n = \dfrac{\log\left(\frac{20298}{20280.98}\right)}{\log(1.0015)} \cong 0.56\text{ ans}$$ Il faut donc attendre \(1\text{ ans}\) au taux \(i = 0.15\%\) pour atteindre un capital \(C_n = \text{CHF }20280.98\). Ainsi la durée totale est de \(2+1= 3 \text{ ans}\).
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